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小学求面积六大模型之：蝴蝶模型（蝴蝶定理）

大自然生物的美，总是给人以美的享受，就像蝴蝶一样，对称的体型，美丽的翅膀，总能让人心情舒畅。今天，我们走进数学的殿堂，来一起认识一下另一种蝴蝶。连接任意一个四边形的对角线，会将四边形分成四个部分，它的形状类似于蝴蝶，称之为“蝴蝶模型”，其背后关于面积和边的比例性质引出了一系列定理，称之为“蝴蝶定理”。

一、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)

★结论1:如图所示，ABCD是任意一个四边形，被两条对角线分成了四部分，其面积分别为S1、S2、S3、S4,则有:

☞上述结论的得出依据有两个:一是等高三角形面积之比等于对应的底之比。即:S1:S2=DO:OB=S4:S3。二是比例的基本性质。即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。由S1:S2=S4:S3可得外项积=S1×S3，内项积=S2×S4,从而得出结论。第②个结论的得出也是依据比例的一些性质，综合计算得出来的，因为:S1:S4=S2:S3= AO:OC（设其等于a）,则S1=a×S4，S2=a×S3，从而（S1+S2）÷（S4+S3）=a =AO:OC

二、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)

★结论2:如图所示，ABCD是梯形，被两条对角线分成了四部分，其面积分别为S1、S2、S3、S4,则有:

结论①的证明需要借助:平行线分线段成比例性质及其推论（内容附后）以及鸟头模型。根据平行线分线段成比例性质及其推论，可得，AO:OC=DO:OB=a:b,根据鸟头模型，可知:S1:S3=（AO×OD）:（BO×OC ）=a²:b²,结论②和③方法相同。

三、具体应用

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

例题:

练习题及答案

蝴蝶定理的来龙去脉

蝴蝶定理的英文是 Butterfly Theorem，蝴蝶定理是古典欧式平面几何最杰出的结果之一。蝴蝶定理最早出现在1815年英国的一份通俗杂志《先生日记(Gentleman’s Diary)》征解栏内，同时刊登了蝴蝶定理的两个证明。第一个是英国著名的自学成才的数学家霍纳 (W . G . Horner 1786-1837) 的解法，另一个是泰勒(Richard Taylor)的证明。1819年，迈尔斯·布兰德(Miles Bland) 在《几何问题》一书中给出了一种不同寻常的证明。布兰德的证明方法被坎迪(A . L. Candy)推广，发表在1896年的《数学年鉴》上，后人称为坎迪定理。可见 布兰德的证明比霍纳的证明要深刻得多, 给人们此后，有不同时代的数学家不断公布新的证法，比如1919年《中学数理》发表了用梅涅劳斯定理的简单证明。1944年2月号《美国数学月刊》的征解题就直接冠以”蝴蝶定理”的美名, 随后”蝴蝶定理”的名称广为流传。1929年，Roger Johnson 在 《近世欧氏几何学》中，指出：”这个貌似简单的定理出奇地难证”；1972年，Howard Evesz 在《几何学基础》中，写道：”如果限用几何知识的话，这的确是一个棘手的问题”。正是定理的挑战性，成为数学学习的各种测试题。1946年的美国普特南大学生数学竞赛，出现了蝴蝶定理的证明题；1990年的中国数学竞赛，出现了”筝形”蝴蝶定理；2003 年北京市高考数学题中，出现了”椭圆型”蝴蝶定理；2009 年江西高考数学题中，出现了”抛物线型”蝴蝶定理。

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