大家好，今天小编来为大家解答n次方（n次方程有n个根是什么定理）这个问题，n次方（n次方程有n个根是什么定理）很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
棣美弗定理De Moivre’s theorem
复数的棣美弗定理De Moivre’s theorem
对于任何整数 n, 棣美弗定理表明有如下恒等式：
= cos (nθ) + i sin (nθ)
这个公式利用欧拉公式很容易证明（见复数的欧拉公式）.
我们知道根据欧拉公式：
下面利用这个公式求1的n次根。
如果任何复数z满足 = 1, 那么Z是1的n次根.
代数的基本定理表明一个n次方程会有n个根。因此 = 1会有n个根。.
为了求得根Z, 我们可以写成,
1 = cos (2kπ) + i sin (2kπ), （k是整数）—————————(1)
我们有,
= 1
z =
从 (1)式有, = 1 = cos (2kπ) + i sin (2kπ), 推出：
根据棣美弗定理：
这里k = 0, 1, 2, 3,……..,n−1
例如：如果n =3, 那么k = 0, 1, 2
我们知道
当k=1时，令z=ω：
这样可以得到1的n次根：
当k = 0; z = 1
k = 1; z = ω
k = 2; z = （利用棣美弗定理)
k = n-1, z = （利用棣美弗定理)
这样1的n次根分别是1,ω,,,…….,， 可以看出这是个等比数列,
1的n个根的和是：
将下列式子做n次方：
则有：= 1, 因此
1 + ω + ω2 + ω3 + ⋯ + ωn-1 = 0
利用上面的推导可求1的立方根:
这样1的n次根分别是1,ω,,,…….,， 可得三个根1,,ω,,
其中,ω,,：
1的三个立方根在单位圆上的分布如图：
可以验算：
例子：如果a和b是方程 + x + 1 = 0的根， 求 +
很容易求得方程的根：
a 和b 的值分别等于ω ，ω2 ，那么1+ω+=0, =1, 因此可求出：
由一个题想到的
昨天有学生问我一道题：在实数范围内解方程组：
课间休息时并没有做出来，但我却记得自己做过类似的一个题，不过下面不是5次方，是立方：
这个题要简单点，我们先说这个题，由二项式定理(即杨辉三角，可参见前面文章——从二项式定理到多项式定理)
可知：
利用这个公式经过适当的配凑，可以解出 xy ,从而解出方程：
又由二项式定理知：
用这个公式经过适当配凑仍能在第一个题中解出 xy ,从而解出方程：
当然也可以用和差换元来解这两个题：
另外还有一个题也有点相似，在实数范围内求值：
眼力好的人应该可以看出，这个题就是上面第二个方程组换了个方式再出现。
上面题目的解题过程中用到了立方差公式:
相应的还有立方和公式：
立方和、立方差公式实际上都来自下述公式：
例如，还可以有：
前面解方程我们有强调在实数范围内求解，因为如果在复数范围内，根据代数基本定理， n 次方程一定有 n 个根(算上重根)。
在复平面中复数可以写作三角形式: (r为 z 的模长, θ 为辐角)，根据棣莫弗公式，两个复数相乘等于模长相乘，角度相加(可参见前面文章——虚数的意义)。这样我们还可以得到：
若则 ,反过来我们就可以给任意复数开 n 次方：
若则
共 n 个根。
下面举个简单例子：
当然在复数范围内，一元二次方程 Δ<0 时也是有解的：
方程 ，当 Δ<0 时：
上面解方程组，其实我们用了构造配凑的思想，数学中有一些十分巧妙的构造，例如解方程常用的“和差对偶构造”，三角函数中常用的“互余对偶构造”，复数中的“单位化共轭构造”等，我们举一例来说明：
上面方法二便是“单位化共轭构造”，对这个题来说这个方法绕了点，但却能从中领悟领悟数学的奇妙。
当然我们也能用“互余对偶构造”来解这个题，如下：
最后来看个“和差对偶构造”的例子：
解方程：
今天就先说到这，数学就是这样，有时我们做一个题就能勾起自己以往遇到的其他同类的题，放在一起我们又会得到一些新的思考，虽然很多与当前的这个题目已无太大关系，然而做数学题我们并不能只是关心当前的答案，当你兜了一大圈子而又最终形成逻辑的闭环，你会陡然惊叹于数学的神奇，这大概就是数学的奥妙吧。
数学史通俗演义——方程史话
图一 解方程
怎么才能称出小狗的体重——什么是方程
我们用一个例子来说明，比如家里有一个体重计，可以称量人的体重，但是只把一只小狗放上去的话，它没有示数。那么，怎么才能称出小狗的体重呢？方法很简单，抱着小狗称一次，得到一个示数，把小狗放下，又得到一个示数，两个示数的差，便是小狗的体重。这里便用到了方程思想。方程本质上是一个等量关系：小狗的体重+人的体重=小狗和人的体重。
怎么才能计算出小狗的体重——怎样解方程
假如我们设小狗体重为x，第一次示数是61.5，第二次示数是55.4，那么便可以列出数学形式的方程了：
61.5=x+55.4
怎样解这个方程呢？既然方程两边是相等的，那么相等的两边加上同样的东西或者减去同样的东西，它仍然相等。比如两边都减到55.4，那么左边变成6.1，右边变成x，这样我们就计算出x的数值了。
图二 思维的远方
二次方程产生的分化——因式分解和公式法
当然，刚才解的是最简单的一次方程，在现实生活中，我们还会遇到二次方程。例如x^2+px+q=0,p、q都是常数。这样的方程便没有一次方程那么容易求解了。但我们还是学过方法的.。
第一种叫因式分解法，倘若把这个方程分解成两个因子相乘的形式就好办了，比如让它变为(x-a)(x-b)=0，可以方便地求出两个根a和b，并且，可以看出，p=-(a+b)，q=ab，这是方程的根与系数的关系。这个关系对于高次方程依然适用，比如，对于分解式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0，它对应的是四次方程x^4+px^3+qx^2+rx+s=0，可以看出，p=-(a+b+c+d)，是所有单项的和，q=ab+ac+ad+bc+bd+cd，是所有双项的和，r是所有三项的和，r=-(abc+bcd+cda+dab)，s是四项的和，s=abcd，而且，奇次项为负。偶此项为正。
图三 二次方程
有的时候，方程比较复杂，不容易看出怎样因式分解这就要说到第二种解法——公式法。公式法的实质是依靠基本方程x^2=r，这个方程的根直接规定好，然后把其他方程都划归为这样的形式。比如x^2+px+q=0，可以采用配方法使之变成(x+p/2)^2=(p/2)^2-q的形式，这样就可以直接开方了。它的依据依然是任何一个方程两边同加上或减去同样的东西，乘上或除以一个相等的东西，两边依然相等。上述一般方程解出的结果便是公式，任何一个具体方程，套公式后便可以得到具体的根。使用公式的本质就是把前面公式的推导过程重新推导一遍，所以套公式的结果必然正确，但也必须理解，硬套是会出错的。
图四 三次方程
这是目前我们对于方程的所有了解，以下的所有推论都源自这两种基本理解。
方程组与线性代数
含有多个未知数的方程可以联立成为方程组，比如二元一次方程组。对一次方程组的解法研究是诞生了线性代数，并产生一个新的量——矩阵（其实就是一堆数构成的阵列），矩阵的变换和代数运算是线性代数的核心内容。
图五 矩阵计算
高次方程与高等代数
仿照二次方程的求解方法，三次和四次方程也可以得到类似的求根公式。一般地，一个高次方程至少有一个根，意味着能从中分解出一个因式(x-a),从而方程也就降低一次，这样，n次方程便有n个根，这就是代数基本定理。
图六 代数基本定理的证明
五次方程与抽象代数
在求解五次以上方程的一般公式时，出现了根本性困难，原因是辅助方程的次数更高，这意味着方程不能采取降次的方法求解。对这个问题的研究，其着力点是根与系数的关系。比如，五次方程有五个根，这五个根可以产生5！=120种组合关系，而由这五个根组成的预解式只有区区几个值。后来伽罗瓦引入可解群的概念，进一步完善了阿贝尔的理论。群的概念的引入，预示着抽象代数的兴起。
图七 代数
关于n次方（n次方程有n个根是什么定理）的内容到此结束，希望对大家有所帮助。