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静电场高斯定理

高斯定理是静电场的基本规律之一。现在就真空中的情况推导这一定理。首先考虑场源是点电荷的情形。今以正电荷q为中心，任意场r为半径作一个球面,如图所示。

显然，球面上各点场强大小均为E=kq/r²，(常量k=1／4πε0)，方向沿半径指向外且与球面法线的夹角θ=0，可求得通过球面S1的一的电通量

式1

上式表明Φ与r无关，即对于任意大的球面，上式均成立。

今围绕点电荷q作任意闭合曲面,由上述推导不难看出，其电通量为q／ε0，且Φ＞0。若q为负点电荷,则Φ＜0。若为作为一个闭合曲面S不包含此点电荷，则由图可看到穿出与穿入此闭合曲面的电场线数相同,亦即通此闭合曲面的电通量为零。

现在，再考虑场源是任意点电荷的情形。在场中做一个任意闭合曲面，第1至第n个点电荷在其面内，自第n+1至第N个点电荷在其面外。由于上述分析适用于任意一个点电荷，那么总电通量应为

式2

同样，对于任意带电体系的场源，上式均成立。通过真空静电场中任意一个闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的电荷代数和除以ε0。这就是真空中的高斯定理。关于这一定理做如下说明:

第一，由库仑定律和场强叠加原理导出的高斯定理揭示了场与场源之间的定量关系，在场强分布已知时可由此求出任意区域内的电荷。这一规律显然与闭合曲面的形状、大小无关。

第二，高斯定理揭示了静电场是有源场。所选取的闭合曲面称为高斯曲面。若面内是正电荷，则Φ＞0，表明电场线始于正电荷。若面内是负电荷，则Φ＜0，表明电场线终止于负电荷。若面内无电荷，电场线仅仅从该闭合曲面穿过而已。

第三，高斯面是一个假想的任意曲面，并非客观存在。

第四，还应注意，式2中的E在高斯面上,是面内、面外全体场源电荷产生的总场强。面外的电荷对E是有贡献的，虽然对高斯面上的电通量Φ没有贡献，但它可以改变闭合曲面上电通量的分布。式中的q在高斯面内，而不在面外，也不在面上(这是无意义的)。Φ与q的具体分布无关。∑q=0只表示高斯面内电荷电量的代数和为零，亦即高斯面上电通量Φ为零，并不一定面内没有电荷，也不一定高斯面上个部分曲面电通量为零。

麦克斯韦方程组之电场高斯定律

在麦克斯韦方程组中， 你会遇到两类电场: 由电荷产生的静电场和由变化磁场产生的感生电场。 高斯电场定律处理的是静电场，你会发现它是一个有力 的工具， 因为它将静电场的空间特性与产生电场的电荷分布关联起来。

1.1 高斯电场定律的积分形式

高斯电场定律 (积分形式)

方程左边就是通过闭合曲面 S 的电通量 (电场线的数量) 的数学描述， 而右边则是曲面包围的电荷总量除以真空电容率。

如果你不清楚 “场线” 或 “电通量” 的确切意义， 不要着急——接下来我们会详细阐释这些概念。 还有一些例子向你展示怎样利用高斯定律解决与静电场有关的问题。 对于初学者， 请掌握高斯定律的主要思想:

电荷产生电场，场通过任意闭合曲面的通量正比于曲面所包围的电荷总量。

也就是说，如果有一个真实的或想象的任意大小和形状的闭合曲面， 在曲面内部没有电荷， 通过曲面的电通量就必定为零。 如果在曲面内部放入一些正电荷， 通过曲面的电通量就为正。 如果在曲面内部又放入等量的负电荷 (使得包围的电荷总量为零)， 通量就又变成零。 高斯定律说的是曲面所包围的净电荷。

为了帮助读者理解高斯电场定律积分形式中每个符号的意义， 下面给出了展开图:

高斯电场定律

高斯定律有什么用呢? 下面是可以用这个方程解决的两类基本问题:

(1) 给定电荷分布，可以算出包围电荷的曲面的电通量。

(2) 给定通过闭合曲面的电通量，可以算出曲面包围的电荷总量。高斯定律最大的好处是，对于一些非常对称的电荷分布，可以推断出电场

本身，而不仅仅是通过曲面的电通量。 虽然高斯定律的积分形式看上去有些复杂， 但还是完全可以逐项来理解的。

要理解高斯定律， 首先要理解电场的概念。 在一些物理和工程书籍中， 没 有直接给出电场的定义; 一般， 你读到的是这样的陈述， 有电作用力的地方 “就认为存在” 电场。 那到底什么是电场呢?

这个问题有深层的哲学意义， 但不容易回答。 法拉第 (Michael Faraday) 第 一个提出电的 “力场”， 麦克斯韦则提出这个场在带电物体的周围———电荷力作用到的地方。

在大部分定义电场的尝试中， 一条共同的线索是场与力密切相关。 因此有 一个实用主义的定义: 单位电场是单位电荷施加在单位带电物体上的电排斥力。 虽然哲学家对电场的真实含义有争议， 你只需将任意位置的电场大小视为在那 个位置上的每库仑 (C) 电量受到的以牛顿 (N) 为单位的电排斥力的大小， 就 可以解决许多实际问题。 因此， 电场可以用以下关系定义:

电场定义式

式中， Fe 是对一个小一电荷q0 的电场力。 这个定义凸显了电场的两个重要性质: (1) E 是矢量， 大小正比于力， 方向为正测试电荷的受力方向。

(2) E 的单位是牛顿/ 库仑 (N/ C)， 等同于伏特/ 米 (V/ m)， 因为伏特 =牛顿 × 米 / 库仑。

在应用高斯定律时， 将带电物体周围的电场描绘出来会有助于分析。 常用的方法是用箭头或 “场线” 构造电场的图形， 方向指向空间中各点场的方向。 如果用箭头描绘， 则箭头长度表示场的强弱。

如果用场线描述， 则线的疏密表示场的强弱 (线越密则场强越强)， 在你看用线 或箭头描绘电场时， 请记住在线与线之间同样存在电场。

电场的例子

注意: 这些电场都是 3 维的。

效果。下面是一些可以帮助你描绘电荷产生的电场的经验法则一 :

● 电场线必须从正电荷出发， 终止于负电荷。

● 任何一点的净电场等于这一点存在的所有电场的矢量和。

● 电场线不相交， 因为这意味着电场在一个位置上有两个不同的方向 ( 如

果在一个位置上有多个不同的电场作用， 则总电场为各电场的矢量之和， 电场 线则总是指向唯一的总电场方向) 。

高斯定理应用举例

均匀带电球面的场强分布

今有一均匀带电球面，半径为R，总带电量为Q。欲求离球心r远处任一点的场强。从场源电荷的分布可知电场分布呈球形对称，场强方向与球面法线方向一致且在距离中心等远各处的场强大小相等。

今以球心O为中心，r为半径作一个球形高斯面S，欲求场强之点落在此高斯面上，代入式，得通过高斯面的电通量:

这表明，在均匀带电球面外部可视其为一个电荷集中于球心的点电荷，而在其内部则各处场强均为零。均匀带电球面的电场中各点的场强与该点距球心距离的关系如图。显然，对于球形对称分布的电场都有类似的分析。

无限大均匀带电平面的场强

今有一无限大均匀带电平面，其电荷面密度为σ，欲求其周围电场的场强。由于场源电荷在无限大平面上均匀分布，在其两侧附近的电场则应均匀对称地分布，即场强方向与带电平面垂直、距带电平面等远处的场强大小相等。

于是可作一个侧面与带电平面垂直，两底面S 1、S 2距离带电平面等远的正圆柱形高斯面,与带电平面相截之截面为S，如图。

对于高斯面的两底面均有θ=0，对于其侧面则有θ=π／2，通过两底面的电通量均为ES,通过其侧面的电通量则为零。所以，通过高斯面的电通量:

上式表明无限大均匀带电平面附近是一个方向与该平面垂直的均匀电场。

对于两个均匀带等量异号电荷的无限大平行平面之间的电场，利用场强叠加原理，由上述结果便可得到E=σ／ε0或E=4πkσ。这仍然是一个方向与带电平面垂直的均匀电场。而在这两个平行带电面的外部E=0。表明这两个平行带电平面的电场完全集中在它们之间的空间内。这正是平行板电容器提供了均匀电场的缘故。

由以上几个例子可以看出，高斯定理的一个特殊用途在于计算具有某些特殊对称性的静电场的场强，这是很便捷的。

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