大家好，今天给各位分享欧拉定理（欧拉定理V+F-E=2）的一些知识，其中也会对欧拉定理（欧拉定理V+F-E=2）进行解释，文章篇幅可能偏长，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在就马上开始吧！

虽然它们都被称为“欧拉公式”，但实质却完全不一样

你好！

欧拉公式二世！

离过年回家的日子越来越近了，心里早已想起老妈做的饭菜，虽说很普通，但却很喜欢。再加上这几天广州又是刮风，又是下雨，超模君根本就没心思写文章，只想好好在被窝里睡一觉。

然而小天又来催稿了（

自从小天转正后，日子一天不如一天）

，看来还是要乖乖写文章。

那今天超模君就跟大家讲讲“欧拉公式”，被数学界誉为“数学中的天桥”的那条公式。

说起欧拉公式，应该有很多人知道：

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

在这里，我们把在复变函数中的欧拉公式称之为欧拉公式一世（至于为什么这么叫，都怪欧拉太厉害）。

原来，数学界的超级大牛欧拉除了在复变函数领域，发现了被数学界誉为“数学中的天桥”的公式，同时也在初等数论、三角形及拓扑学中发现一些极为价值的公式，然而数学界似乎没想到要区分不同领域欧拉的成就，将所有的公式都统称为“欧拉公式”，你说的“欧拉公式”不是我说的“欧拉公式”。

复变函数中的“欧拉公式”（欧拉公式一世）因为所包含元素的特异性，得到更多的关注，就连小天都知道念叨：数学界最美的公式就是欧拉公式。

当我把拓扑学中的“欧拉公式”（我们称之为欧拉公式二世）丢给小天时：什么呀？欧拉公式怎么可以长成这样？

小天：赶紧把我的最美公式还给我！！！

超模君（一脸嫌弃，在追求真理的路上总是会遇到一些xxx）：。。。

今天，超模君想要讲的故事主角，就是：欧拉公式二世。

在任何一个规则球面地图上，用 F记区域个数（通俗来讲就是面） ，V记顶点个数 ，E记边界个数（也就是边） ，则V- E+F= 2，这就是欧拉定理 。

顶点的英文：Vertical。

棱（或边）的英文：Edge。

面的英文：Face。

真的，这也是欧拉公式。

虽然我们称之为欧拉公式，但第一个证明欧拉公式成立的却是Descartes（笛卡尔），而后才轮到欧拉。但第一个真正给出严格证明的则是20岁的柯西。

来自百度百科的证明过程：从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)

抱歉，实在没法读懂百度百科的这段解释，如果有模友能解释清楚的记得留言，另外也去百度百科把这段内容修改一遍。

既然没办法像欧拉、柯西这般数学家那样去思考这个问题，不聪明的超模君只能按照最笨的方式，一个一个多面体来计算。

（脑子正在加载.gif）

是不是很惊喜，是不是很刺激，我们竟然推导出一个定理。

不过有个问题，为啥都是正多边形，别的难道不行吗？

行不行，我们试试再说，为了便于理解，超模君选择在立方体上加多一条线。

（这豆腐有点渣）

SURPRISE！在立方体的一个面上加上对角线，在增加线的同时，立方体的一个面也被一分为二，此时的欧拉公式依旧等于2，欧拉公式成立。

也就是欧拉公式对于立体图形都是成立的！

啪啪啪，此时小天向超模君丢出一个凹二十面体。

（可以发挥一下想象力）

其实这依旧是一个二十面体，在保持相同数量的面和边的同时，这个二十面体选择了将两个顶点合二为一。

SO SAD！也就是欧拉公式变成了：

V – E + F = 1

难道欧拉公式错了？

是的，在发现到这个问题后，数学家们便引入了新的一个概念：欧拉特征χ（说实话，超模君也是第一次看到）。

F + V -E = χ

此时的欧拉公式V-E+F不仅可以等于2和1，也有可能等于其他值。

无奖问答：那你觉得莫比乌斯环的欧拉特征应该多少？

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欧拉公式—宇宙第一公式，几乎蕴含所有数学元素，开创了新的时代

前段时间完美聊了一下麦克斯韦方程，那么聊到世界上最完美的公式，就肯定离不开欧拉公式，如果说麦克斯韦方程首次让物理学界迎来了大一统，那么欧拉公式就可以被称为“公式之母”，无数数学界以及物理界的公式都是受他影响而诞生，可以说推动了数学界和物理界的大发展，数学家们更是评价它是“上帝创造的公式”。而这个公式的发明者欧拉也被誉为“数学之王”，是数学界的四大天王（“数学之神”阿基米德、牛顿、“数学王子”高斯、欧拉）。

我们先来聊聊欧拉，欧拉可以说就是为数学而生，人家9岁，就把牛顿的《自然哲学的数学原理》看完了。

13岁考入巴塞尔大学一开始是主修哲学和法律。后来觉得太容易了，太轻松了。一口气又修了数学、神学、希伯来语以及希腊语。

课余还研究音乐、物理、建筑啥的。这他都觉得大学过的很闲。花了两年时间就把六个专业学完了，然后毕业了……

顺手考了一个硕士，可能是觉得硕士学习的内容太简单了，欧拉完全提不起兴趣。心想要不然就考个博士吧。

然后硕士读了一年了就成功考取了博士。

这些欧拉才心满意足，觉得还是有点学习的价值，乖乖读了3年。19岁就成功博士毕业了。博士毕业论文就是写的物理论文。

为啥说欧拉自负傲娇气性大，因为他20岁的时候参加巴黎科学院奖金的争夺，就拿了一个第二。

欧拉啥时候受过这样的气啊，心想虽然自己比赛的时候也是洒洒水，没这么认真。也不至于就第二吧。

当年拿第一的皮埃尔·布格也是厉害人物，在多个领域有很高成就，被后世尊为“ 造船工程学之父 ”。

可惜他碰上的对手是欧拉。

欧拉很生气，后果很愤怒。接下来12年，建筑大赛的冠军都被欧拉拿了。

到了33岁，欧拉才觉得气消，不再参与比赛。27岁那年，他发明了一系列对人类影响深远的符号——圆周率的符号π、函数符号f(x)、以及三角学符号sin、cos、tg等等都是他发明的。

欧拉凭一己之力，成功为中国数学教材贡献了无数的知识点。让中国学生在中考、高考的数学火海里苦苦挣扎，然而，这只是人家做的一点点微博贡献。

从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式都是他送给理科系大学生的礼物。

还有哥德巴赫猜想也是哥德巴赫写信给欧拉时提出的。现在流行的版本是欧拉记载下来的。

哥德巴赫写给欧拉的信

欧拉在数学的勤奋还有天赋真的是前无古人。号称科研就和生活一样。可能在喝一杯水的时候，就立马想处一个公式来了。

另外，他还顺便创造了几个全新的学科：拓扑学、弹道学、分析力学，还自学成为了制图学家。全欧洲的天文学家正在讨论该如何计算彗星的轨道，100多个专家苦苦尝试却毫无进展。

27岁的欧拉听说了这件事之后，得瑟之心油然而生，为了显摆自己的智商，他连续三天不吃不喝不睡，搞出了一套计算彗星轨道的方法。

然而天道好轮回，天才也缴税，由于连续三天没合眼，他的右眼劳累过度，瞎掉了…

不过他表示还可以再坚持一下，30岁的独眼欧拉出版了震古烁今的巨著《力学，或解析地叙述运动的理论》，提出了质点的概念。

还在速度与加速度问题上引入了矢量，一系列巨大成果，改变了人类发展的走向。

32岁时候，很久没有跨界的他，心里痒痒的，于是出版了一部音乐理论著作，顺便发明了，空气动力学和流体动力学。。

在59岁的时候，欧拉彻底瞎了，但是欧拉觉得好像解放了新世界。虽然看不清楚，没有办法计算，但是欧拉强悍的心算能力弥补了这一点。

欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容。

而且老年时期还能清楚记得维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》，这本书有多厚呢，人民出版社翻译的中文版共有300多页。

欧拉可以清晰记得哪一句在哪一页哪一段哪一行。

有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位。

欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．欧拉以惊人的记忆力还有能力解决了需要计算的难题，写东西更勤快了。还创立了分析力学和刚体力学

他喜欢拿自己的小孩做背板，然后在那里计算。就和这幅图一样。

1771年，64岁的欧拉因为彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中。

虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。

记忆力惊人的欧拉表示，烧掉了有什么，我再重新写出来不就好了。

他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录。

然而即使欧拉奋战了13年，依然才整理出来一小部分被烧毁的成果，可以说如果不是这场大火，那么欧拉遗留下来的成果你想想对文明的进步会有多大的发展。

他大火之后整理出来的小部分成果共包括886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

以欧拉命名的公式与定理，足足有数十个。这其中最为知名的就是我们的主体“欧拉公式”，这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introduction，它是复分析的欧拉公式特例。。

欧拉公式并没有多复杂，反而方程简单，有点像武林高手，达到了最高境界，返璞归真一样的感觉。

看起来是不是特别地简单，但是这个公式在以前即使是许多的数学界穷尽一生都很难琢磨明白， 它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

那么为什么说这个公式非常复杂呢？因为你可以用非常多不同的方式去证明它，你既可以用数学归纳法证明，也可以用推理证明，也可以分式推导，还可以用复变函数求证，甚至你可以用 平面几何学、 物理学、拓扑学来推证。所以才说他蕴含了所有的数学元素，甚至蕴含了宇宙的至理法则。

自然数也被称为欧拉数的“e”含于其中。 自然对数的底、 素数定理、完全率、阻力落体、粒子运动，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，都蕴含着“e”

而另外一个超越数，π，大家相比很清楚了，就是圆周率。这两个超越数都是欧拉发明的。

也包含了最重要的运算符号 + ，最重要的关系符号 = 。而0和1，是构造群，环，域的基本元素，也是构造代数的基础。 而虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面，在哈密尔的 4 元数与 凯莱的 8 元数中也离开不了它。

所以你明白为什么这个公式非常之复杂了吗？也正是因为其涵盖范围如此广泛，如三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论等受到了它的影响。它同样对物理学影响也非常巨大，如机械波论、电磁学、波动光学以及引发了电子学革命的量子力学的理论基础也蕴含其中。 也将物理学中的圆周运动、简谐振动、机械波、电磁波、概率波等联系在了一起……

举一个例子，你可以使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。可以说欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。

还可以把它扩展为时间的函数。（引用至CSDN xieyan0811 ）

加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是时间，w是系数。把平面上的转圈扩展成了空间中的转圈，纵轴表示时间t，两个横轴分别为实部(cos(t))和虚部(sin(t))，蓝线经过的点是e^ix，即，把时域上的e^ix分别投射到了实轴cos(t)和虚轴sin(t)，它们都是时间t的函数．图中可看到正余和余弦的投射（红／绿）。如果用python做3D图，拖动旋转角度效果更直观．这就是傅立叶变换原理：将时域值拆分映射到频域，通过三角函数的叠加表示。

还有拓扑学里的欧拉公式

v+f-e=x(p)，v是多面体p的顶点个数，f是多面体p的面数，e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。 如果p可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么x(p)=2，如果p同胚于一个接有h个环柄的球面，那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

所以看完之后，你就能知道为什么欧拉公式被誉为“上帝创造的公式”了吧，很多数学家甚至物理学家都从欧拉公式里得到了启发，高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。”

物理学家查德·费曼惊呼：欧拉恒等式不但是“数学最奇妙的公式”，也是现代物理学的定量之跟。

只是不知道为数学而痛苦的各位，是不是看到这个公式十分气愤，毕竟很多我们中高考大学的公式都是受它影响～

证欧拉公式，学立体几何

任意一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的。如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面。像这样，表面连续变形，可变为球面的多面体叫做简单多面体。

简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F有关系V+F-E=2。这就是欧拉公式。

记忆时，可记为“1（点即为一个点）+3（面由不共线三个点确定）-2（线由两个点确定）=2”，即“点+面-线=2”。

多面体至少有4个面、有6条棱、4个顶点。

下面给出欧拉公式的证明。

证明: 设多面体的各面为ni边形（i=1,2,3…,F）。由于多面体的每一条棱都只属于两个面多边形，故有

又由内角和定理得，多面体所有面角的总和为

另一方面，我们想象多面体表面是橡皮做的，可以把它压成平面图形，使其中一个为最大，其它各多边形都包围它的内部，如下图。

在上图的变形过程中，顶点数V、棱数E都没有变化，每个多边形虽然形状变了但边数没有变化，假设最大的多边形边数为，那么被包围在它内部的顶点数为个（V-n)，可见被包围的多边形所有内角和为(V-n)*2π+(n-2)*π，再加上最大的多边形内角和(n-2)*π，可得

比较前述两式得，

即V+F-E=2。

下面来看一看它的一些应用。

例1， 正多面体的每个面都是正n边形，顶点数是V，棱数为E，面数是F，每个顶点连的棱数是m，则它们之间不正确的关系是

(A)mF=2E; (B) mV=2E; (C)nF=2E; (D)V+F=2+E

分析： 选项(D)即为欧拉公式,正确。

考虑正四面体，V=4，F=4，E=6,n=3,m=3这时四个选项全部正确；

考虑正六面体（正方体）V=8，F=6，E=12,n=4,m=3, 这时只有（A）不正确。

例2 , 用相隔10度的经线和相隔10度的纬线将地球分割成若干部分，将各部分球面看成平面，得到一个凸多面体，求这个凸多面体的顶点数V、面数F、棱数E。

分析： 按此分法，共有17个纬度圈、1个北极点、1个南极点，共有18条经线，每条经线与17条纬度圈的每一圈有2个交点、与17条纬度圈检有36个交点，这样17条纬度圈 与18条经线共有17×36个交点，再加上两个极点，共有

个交点。

17条纬度圈把球面分成18部分，每部分又被18条经线分成36个表面，共得18×36=648个表面，即F=648。再由欧拉公式V+F-E=2得棱数E=1260。

例3, 已知多面体的每个面都是五边形，每个顶点出发的棱数都是3，求它的面数、顶点数、棱数。

分析: 每个面有5条边，一共有5F条边，得E=5F/2。每个顶点出发的棱数都是3，得E=3V/2。代入欧拉公式V+F-E=2得E=30，V=20，F=12，即所求面数F=12、顶点V=20、棱数E=30。

例4 , 以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，求它们的表面积之比。

分析: 如图1，这个正八面体也可以看成由正方形底面重合的两个正四棱锥拼接面成的几何体,如图2。设原来正六面体边长为1，

表面积

点击

得表面积之比

例5 , 求证：每个面都是同边数的多边形，同一点出发的棱数相等，这样的多面体只有5种。

分析: 设从该多面体的每一顶点发出m条棱，有个V顶点，共发出mV条棱。由于每一条棱都有两个顶点，得到mV=2E。设每一个面都是n边形，即有n条棱，F个面，共有nF条棱，但每条棱又都是相邻两个面的边，得到nF=2E。代入欧拉公式得，

而

得

当时得n=3时,得到

当时得n=4时,得到

当时得n=5时,得到

所以对应的多面体只有5种：正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体、正十二面体。

【练习题】

练习1 , 试证不存在7条棱的多面体。

（答：用反证法。若E=7，则V+F-7=2，即V+F=9，但 V>=4，F>=4，所有只有V1=4、F1=5; V2=5、F2=4; 这是不可能的）

练习2 ,已知凸多面体的各面都是四边形，求V-F。（答：2）

练习3 , 已知一个简单多面体的各个顶点都有3条棱，求2F-V。（ 答：4）

好了，关于欧拉定理（欧拉定理V+F-E=2）和欧拉定理（欧拉定理V+F-E=2）的问题到这里结束啦，希望可以解决您的问题哈！