曼哈顿距离(曼哈顿距离怎么算)

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曼哈顿距离

我们都知道一个事实,已知两点坐标A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 )则AB的距离为

但是,我发现一个问题,在北京打的,北京的街道几乎都是南北走向或者东西走向,极少斜着的岔路。

下面是一张北京地图。

(北京,以故宫为中轴线,向两侧延展)

那么如果在北京打出租车,两点间的距离似乎就不能用上面的公式计算了,除非北京出租车能够像重庆那样穿插到大楼中去。

于是,在北京乘出租车的距离,就应该是这个公式计算

这个距离当然不是只在北京有,最早被用于曼哈顿,因此被称为曼哈顿距离,发现它的爸爸是数学家赫尔曼⋅闵科夫斯基。

也有称起为出租车距离的,不过我觉得,出租车距离显然不如曼哈顿距离大气,还是叫曼哈顿距离比较爽。

既然叫距离,它也应该满足我们对距离的一般要求。

首先,距离必须非负。d(A,B)≥0显然成立

其次,距离必须满足“到自身的距离为0”。d(A,A)=0当然成立

第三,距离必须满足三角不等式,即“三角形两边之和大于第三边”。

即d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C)

证明不难:

设A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),C(x3 ,y3 )则

d(A,B)=|x1 −x2 |+|y1 −y2 |

d(A,C)=|x1 −x3 |+|y1 −y3 |

d(B,C)=|x2 −x3 |+|y2 −y3 |

由绝对值不等式得

|x1 −x3 |+|x2 −x3 |≥|x1 −x3 |

|y1 −y3 |+|y2 −y3 |≥|y1 −y3 |

两式相加即得d(A,C)+d(B,C)≥d(A,B)

曼哈顿街区

曼哈顿圆

既然定义了曼哈顿距离,我们就可以顺便把曼哈顿圆定义了。

到定点的距离等于定长的点的轨迹,叫圆。

推广一下

到定点的曼哈顿距离等于定长的点的轨迹,叫曼哈顿圆。定长是不是可以叫曼哈顿半径,定点是不是可以叫曼哈顿圆心?哈哈,我不知道

显然,如果定点为原点,半径为1的曼哈顿圆方程就是|x|+|y|=1,它的轨迹实际上是一个斜的正方形,如图。

如果定点为A(x0 ,y0 ),半径为r的曼哈顿圆方程就是|x−x0 |+|y−y0 |=r,它的轨迹实际上是一个以A为中心的斜正方形,如图。

突然想起来,我们可以拿这个东西搞一点好玩的高考题。

例如已知2x+y=4,求|x|+|y|的最小值

(此时可不可以认为曼哈顿圆与直线相切?)

很好玩吧。

有兴趣的朋友试试这个题。

第二百六十夜:曼哈顿距离

“曼哈顿距离”(亦称“出租车几何”)是十九世纪赫尔曼·闵可夫斯基所创立的词汇。它是一种使用几何度量空间的几何用语,用以标明两点在直角坐标系中的绝对轴距之和。

对于一个由正南、正北、正东、正西方向规则布局的城市街道(如唐长安城),从一点到另一点旅行的距离无疑就是一种曼哈顿距离。而像我大重庆这样的城市,距离则是另外一个概念。许多时候,近在咫尺,却远在天涯。这绝不是一种黯然销魂的错觉。

曼哈顿距离与欧氏距离一样,与生活息息相关,当然是很好的命题素材。这在2006年的福建卷,2009年的上海卷,2010年的广东卷,以及2014年的江西卷都有非凡的表现。

2022届重庆八中第二次月考的16题就是这样的例子。在模考中不甚枚举,简直多得令人发指。

乍看此题,不少人望而却步。甚至有人连题意都懒得去理解,奇形怪状犹如黑暗中的洪水猛兽,令人瑟瑟发抖。当你看完法1,有没有一种莫名的遗憾涌上心头?

其实,没什么好后悔的。因为你早该想到我说过,“繁琐的题目,必有猥琐的解法”。

对称性是不错的性质,我一再强调。它能使计算乃至步骤变得简练,事半功倍。法1,利用圆的参数方程,将曼哈顿距离转化为三角函数的有界性。

顷刻间,恐惧就这样烟消云散了。是的,你肯定意犹未尽。在介绍法2之前,我先给出一个定理,作为法2的依据。

法2通过建立轨迹来解题,直观而形象。这里轨迹的本质就是等值线,与平面向量中的“等和线”、“等积线”毫无二致。

曼哈顿距离(曼哈顿距离怎么算)插图

本题放在填空压轴题的位置,不是故弄玄虚,更不是哗众取宠。它有着深厚数学背景的同时,又有鲜活的实际意义。考查自学能力,知识的迁移能力,转化与划归的能力……总之,就是你是否具备进一步深造的能力。

法3也算一种方法?

当然,尽管它没有法1那么严谨,也不像法2那么精致,但粗糙之中丝毫不显得荒唐。尤其是在小题之中,法3不失为上策,吸分恍如探囊取物。

我可以舌灿莲花,但你不可以信以为真。因为它的确存在风险。不过当你无能为力时,它说不定会是最后一根救命的稻草。

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